Математический анализ Примеры

$g (u) = \sqrt{3} u + \sqrt{5 u}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sqrt{3} u + \sqrt{5 u}$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\sqrt{3}$ является константой относительно $u$ , производная $\sqrt{3} u$ по $u$ равна $\sqrt{3} \frac{d}{d u} [u]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

Этап 2.3

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 u}$ в виде ${(5 u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [{(5 u)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Вынесем множитель $5$ из $5 u$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [{(5 (u))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $5 (u)$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [5^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.4

Поскольку $5^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $u$ , производная $5^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ равна $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

Этап 3.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.12

Объединим $5^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{3} + \frac{5^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.13

Перенесем $u^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{3} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{3}$