Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1}$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1}$ в виде ${(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} + 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 1]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3 x - 1$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 1]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3 + 0)$

Этап 3.7

Добавим $2 x + 3$ и $0$ .

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}} (2 x + 3)$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}} (2 x + 3)$ .

$- (2 x + 3) \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$(- 2 x - 3) \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.6

Умножим $- 2 x - 3$ на $\frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 3}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 3}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.8

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (3)}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.10

Перепишем $- (2 x + 3)$ в виде $- 1 (2 x + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x + 3}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$