Математический анализ Примеры

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$

Этап 1

Перепишем $\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \frac{1}{\cos (x)}]$

Этап 2

Запишем $\sin (2 x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}]$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \frac{1}{\cos (x)}]$

Этап 3.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \sec (x)]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (2 x)$ и $g (x) = \sec (x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sin (2 x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 6.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) \cdot 2$

Этап 7.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec (x) \cos (2 x)$ .

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + 2 \cdot (\sec (x) \cos (2 x))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок членов.

$\sec (x) \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2.2

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2.4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2.4.2

Разделим $2 \sin (x)$ на $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2.5

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2.6

Умножим $2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $2$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \sin (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2.6.2

Объединим $\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2.6.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2.6.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

Этап 8.2.7

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 8.2.8

Умножим $2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.8.1

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\cos (x)} \cos (2 x)$

Этап 8.2.8.2

Объединим $\frac{2}{\cos (x)}$ и $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Этап 8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Этап 8.3.2

Разделим дроби.

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Этап 8.3.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Этап 8.3.4

Разделим $2 (\sin (x))$ на $1$ .

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Этап 8.3.5

Разделим дроби.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

Этап 8.3.6

Перепишем $\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 8.3.7

Запишем $\cos (2 x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 8.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 8.3.8.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \sec (x))$

Этап 8.3.9

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$