Математический анализ Примеры

$\frac{x}{\sqrt{7 - 3 x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 - 3 x}$ в виде ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${({(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{1}}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

Этап 5.2

Умножим ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 7 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 - 3 x$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 - 3 x$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 11.3

Перенесем ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 11.4

Объединим $\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]}{7 - 3 x}$

Этап 12

По правилу суммы производная $7 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 13

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{7 - 3 x}$

Этап 14

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x]}{7 - 3 x}$

Этап 15

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x])}{7 - 3 x}$

Этап 16

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + 3 \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{7 - 3 x}$

Этап 16.2

Объединим $3$ и $\frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{7 - 3 x}$

Этап 17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{7 - 3 x}$

Этап 18

Умножим $\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Этап 19

Чтобы записать ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Этап 20

Объединим ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Этап 21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Этап 22

Умножим ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Перенесем ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Этап 22.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Этап 22.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Этап 22.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Этап 22.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Этап 23

Упростим ${(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{(7 - 3 x) \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Этап 24

Перенесем $2$ влево от $7 - 3 x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Этап 25

Перепишем $\frac{\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$ в виде произведения.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{7 - 3 x}$

Этап 26

Умножим $\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{7 - 3 x}$ .

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (7 - 3 x)}$

Этап 27

Возведем $7 - 3 x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 ({(7 - 3 x)}^{1} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 28

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 29

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 31

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 32

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 7 + 2 (- 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 32.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.1.1

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{14 + 2 (- 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 32.2.1.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{14 - 6 x + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 32.2.2

Добавим $- 6 x$ и $3 x$ .

$\frac{14 - 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 32.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 3 x + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 32.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 32.5

Перепишем $14$ в виде $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 32.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 32.7

Перепишем $- (3 x - 14)$ в виде $- 1 (3 x - 14)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 32.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x - 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$