Математический анализ Примеры

$2 x e^{- x}$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{- x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Этап 4.5

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x}$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x}$ .

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$