Математический анализ Примеры

$- 3 \sec (x) \sin (x)$

Этап 1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \sec (x) \sin (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\sec (x) \sin (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\sec (x) \sin (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$- 3 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 3 (\sec (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 3 (\sec (x) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (\sec (x) \cos (x)) - 3 (\sin (x) \sec (x) \tan (x))$

Этап 5.2

Избавимся от скобок.

$- 3 \sec (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$- 3 \cos (x) \sec (x) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Добавим круглые скобки.

$- 3 (\cos (x) \sec (x)) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Этап 5.4.1.2

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sec (x)$ .

$- 3 (\sec (x) \cos (x)) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Этап 5.4.1.3

Выразим $- 3 \cos (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- 3 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Этап 5.4.1.4

Сократим общие множители.

$- 3 \cdot 1 - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Этап 5.4.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Этап 5.4.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- 3 - 3 \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x)$

Этап 5.4.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- 3 + \frac{- 3}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x)$

Этап 5.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 3 - \frac{3}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x)$

Этап 5.4.6

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{3}{\cos (x)}$ .

$- 3 - \frac{\sin (x) \cdot 3}{\cos (x)} \tan (x)$

Этап 5.4.7

Перенесем $3$ влево от $\sin (x)$ .

$- 3 - \frac{3 \cdot \sin (x)}{\cos (x)} \tan (x)$

Этап 5.4.8

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$- 3 - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 5.4.9

Умножим $- \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.9.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$- 3 - \frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 5.4.9.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 3 - \frac{3 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 5.4.9.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 3 - \frac{3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 5.4.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 - \frac{3 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 5.4.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 5.4.9.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Этап 5.4.9.7

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Этап 5.4.9.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Этап 5.4.9.9

Добавим $1$ и $1$ .

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим на $1$ .

$- 3 - \frac{3 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 5.5.2

Умножим на $1$ .

$- 3 - \frac{3 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Этап 5.5.3

Разделим дроби.

$- 3 - (\frac{3 \cdot (1)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)})$

Этап 5.5.4

Переведем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в $\tan^{2} (x)$ .

$- 3 - (\frac{3 \cdot (1)}{1} \tan^{2} (x))$

Этап 5.5.5

Умножим $3$ на $1$ .

$- 3 - (\frac{3}{1} \tan^{2} (x))$

Этап 5.5.6

Разделим $3$ на $1$ .

$- 3 - (3 \tan^{2} (x))$

Этап 5.5.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 - 3 \tan^{2} (x)$

Этап 5.6

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3$ .

$- 3 (1) - 3 \tan^{2} (x)$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 \tan^{2} (x)$ .

$- 3 (1) - 3 (\tan^{2} (x))$

Этап 5.8

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (1) - 3 (\tan^{2} (x))$ .

$- 3 (1 + \tan^{2} (x))$

Этап 5.9

Переставляем члены.

$- 3 (\tan^{2} (x) + 1)$

Этап 5.10

Применим формулу Пифагора.

$- 3 \sec^{2} (x)$