Математический анализ Примеры

$x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{7} \ln (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ .

$7 x^{6} + 8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Этап 2.5

Объединим $x^{7}$ и $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x^{7}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{7}$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Этап 2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Этап 2.6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Этап 2.6.2.3

Сократим общий множитель.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Этап 2.6.2.4

Перепишем это выражение.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Этап 2.6.2.5

Разделим $x^{6}$ на $1$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 8 (\ln (x) (7 x^{6}))$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $7$ на $8$ .

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 56 (\ln (x) (x^{6}))$

Этап 3.2.2

Добавим $7 x^{6}$ и $8 x^{6}$ .

$15 x^{6} + 56 \ln (x) x^{6}$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$