Математический анализ Примеры

$x^{2} e^{- \frac{1}{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{- \frac{1}{x}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{1}{x}}] + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{1}{x}$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.2

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + 0)) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.5.2

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$x^{2} (e^{- \frac{1}{x}} x^{- 2}) + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5

Умножим $x^{2}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$x^{- 2} x^{2} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{- 2 + 2} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$x^{0} e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 6

Упростим $x^{0} e^{- \frac{1}{x}}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}} (2 x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок членов.

$2 e^{- \frac{1}{x}} x + e^{- \frac{1}{x}}$

Этап 8.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{- \frac{1}{x}} x + e^{- \frac{1}{x}}$ .

$2 x e^{- \frac{1}{x}} + e^{- \frac{1}{x}}$