Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x + 1$ и $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 3) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $2$ влево от $x + 3$ .

$\frac{2 \cdot (x + 3) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x + 3) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 3) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x + 3) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x + 3) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 2.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x + 3) - (2 x + 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - (2 x + 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 x + 6 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x + 6 - 2 x - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x + 6 - 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{0 + 6 - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $0$ и $6$ .

$\frac{6 - 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $1$ из $6$ .

$\frac{5}{{(x + 3)}^{2}}$