Математический анализ Примеры

$y = {(4 x - 2)}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x - 2)}^{2})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(4 x - 2)}^{2}$ в виде $(4 x - 2) (4 x - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(4 x - 2) (4 x - 2)]$

Этап 3.2

Развернем $(4 x - 2) (4 x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x - 2) - 2 (4 x - 2)]$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x - 2)]$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Этап 3.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot - 2 - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 8 x - 2 (4 x) - 2 \cdot - 2]$

Этап 3.3.1.5

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2]$

Этап 3.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 8 x - 8 x + 4]$

Этап 3.3.2

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 16 x + 4]$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $16 x^{2} - 16 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.5

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{2}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $16$ .

$32 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.8

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$32 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.10

Умножим $- 16$ на $1$ .

$32 x - 16 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.11

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$32 x - 16 + 0$

Этап 3.12

Добавим $32 x - 16$ и $0$ .

$32 x - 16$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 32 x - 16$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 32 x - 16$