Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 5}{7 x^{2} - 2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x^{2} - 5$ и $g (x) = 7 x^{2} - 2$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (6 x + 0) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $6 x$ и $0$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (6 x) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $6$ влево от $7 x^{2} - 2$ .

$\frac{6 \cdot (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $7 x^{2} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (14 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (14 x + 0)}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $14 x$ и $0$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (14 x)}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 2.12.2

Умножим $14$ на $- 1$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - 14 (3 x^{2} - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(6 (7 x^{2}) + 6 \cdot - 2) x - 14 (3 x^{2} - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (7 x^{2}) x + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2} - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (7 x^{2}) x + 6 \cdot - 2 x + (- 14 (3 x^{2}) - 14 \cdot - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (7 x^{2}) x + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{6 (7 (x \cdot x^{2})) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 (7 (x^{1} x^{2})) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 (7 x^{1 + 2}) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{6 (7 x^{3}) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $7$ на $6$ .

$\frac{42 x^{3} + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 (x \cdot x^{2})) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 (x^{1} x^{2})) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 x^{1 + 2}) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 x^{3}) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $3$ на $- 14$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 42 x^{3} - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.1.6

Умножим $- 14$ на $- 5$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 42 x^{3} + 70 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Объединим противоположные члены в $42 x^{3} - 12 x - 42 x^{3} + 70 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $42 x^{3}$ из $42 x^{3}$ .

$\frac{- 12 x + 0 + 70 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Добавим $- 12 x$ и $0$ .

$\frac{- 12 x + 70 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Добавим $- 12 x$ и $70 x$ .

$\frac{58 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$