Математический анализ Примеры

$\frac{t}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{({(t - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(t - 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Этап 2.3

Умножим ${(t - 1)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = t - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t - 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $t - 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (2 (t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{2} - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $t - 1$ из ${(t - 1)}^{2} - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $t - 1$ из ${(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1) - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $t - 1$ из $- 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1) + (t - 1) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{{(t - 1)}^{4}}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $t - 1$ из $(t - 1) (t - 1) + (t - 1) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{{(t - 1)}^{4}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $t - 1$ из ${(t - 1)}^{4}$ .

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{(t - 1) {(t - 1)}^{3}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{(t - 1) {(t - 1)}^{3}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Этап 6

По правилу суммы производная $t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

Этап 8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{t - 1 - 2 t (1 + 0)}{{(t - 1)}^{3}}$

Этап 9

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{t - 1 - 2 t \cdot 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Этап 9.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{t - 1 - 2 t}{{(t - 1)}^{3}}$

Этап 9.3

Вычтем $2 t$ из $t$ .

$\frac{- t - 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- t$ .

$\frac{- (t) - 1}{{(t - 1)}^{3}}$

Этап 10.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (t) - 1 (1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Этап 10.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t) - 1 (1)$ .

$\frac{- (t + 1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Этап 10.4

Перепишем $- (t + 1)$ в виде $- 1 (t + 1)$ .

$\frac{- 1 (t + 1)}{{(t - 1)}^{3}}$

Этап 10.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{t + 1}{{(t - 1)}^{3}}$