Математический анализ Примеры

$\frac{1 + c e^{x}}{1 - c e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ имеет вид $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ , где $f (c) = 1 + c e^{x}$ и $g (c) = 1 - c e^{x}$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 + c e^{x}] - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 + c e^{x}$ по $c$ имеет вид $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $c$ , производная $1$ относительно $c$ равна $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d c} [c e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $e^{x}$ является константой относительно $c$ , производная $c e^{x}$ по $c$ равна $e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \frac{d}{d c} [c]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ имеет вид $n c^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \cdot 1) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x}) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $1 - c e^{x}$ по $c$ имеет вид $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $c$ , производная $1$ относительно $c$ равна $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- e^{x}$ является константой относительно $c$ , производная $- c e^{x}$ по $c$ равна $- e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \frac{d}{d c} [c])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ имеет вид $n c^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \cdot 1)}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 6

Вычтем $e^{x}$ из $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 1 - (c e^{x})) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.1.2

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - c (e^{x} e^{x}) - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{x} - c e^{x + x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.1.2.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.1.4

Умножим $- 1 (- e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + 1 e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.1.4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.1.5

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.5.1

Перенесем $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c (e^{x} e^{x})) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x + x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.1.5.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{2 x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.1.6

Умножим $- c e^{2 x} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + 1 c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.1.6.2

Умножим $c$ на $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.2

Объединим противоположные члены в $e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Добавим $- c e^{2 x}$ и $c e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} + 0 + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.2.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$\frac{e^{x} + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4.3

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Этап 7.5

Изменим порядок членов.

$\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$

Этап 7.6

Изменим порядок множителей в $\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{{(- c e^{x} + 1)}^{2}}$