Математический анализ Примеры

$x = t {(2 t + 1)}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(2 t + 1)}^{2})$

Этап 2

Производная $x$ по $t$ равна $x'$ .

$x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(2 t + 1)}^{2}$ в виде $(2 t + 1) (2 t + 1)$ .

$\frac{d}{d t} [t ((2 t + 1) (2 t + 1))]$

Этап 3.2

Развернем $(2 t + 1) (2 t + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t + 1) + 1 (2 t + 1))]$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t + 1))]$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Этап 3.3.1.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Этап 3.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Этап 3.3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Этап 3.3.1.5

Умножим $2 t$ на $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1 \cdot 1)]$

Этап 3.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1)]$

Этап 3.3.2

Добавим $2 t$ и $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 4 t + 1)]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = 4 t^{2} + 4 t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 4 t + 1] + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

По правилу суммы производная $4 t^{2} + 4 t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.5.2

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t^{2}$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.5.4

Умножим $2$ на $4$ .

$t (8 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.5.5

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (8 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t (8 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.5.7

Умножим $4$ на $1$ .

$t (8 t + 4 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.5.8

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$t (8 t + 4 + 0) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.5.9

Добавим $8 t + 4$ и $0$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.5.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \cdot 1$

Этап 3.5.11

Умножим $4 t^{2} + 4 t + 1$ на $1$ .

$t (8 t + 4) + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t (8 t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Этап 3.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$8 (t^{1} t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Этап 3.6.2.2

Возведем $t$ в степень $1$ .

$8 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Этап 3.6.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 t^{1 + 1} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Этап 3.6.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$8 t^{2} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Этап 3.6.2.5

Перенесем $4$ влево от $t$ .

$8 t^{2} + 4 \cdot t + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Этап 3.6.2.6

Добавим $8 t^{2}$ и $4 t^{2}$ .

$12 t^{2} + 4 t + 4 t + 1$

Этап 3.6.2.7

Добавим $4 t$ и $4 t$ .

$12 t^{2} + 8 t + 1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x' = 12 t^{2} + 8 t + 1$

Этап 5

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = 12 t^{2} + 8 t + 1$