Математический анализ Примеры

$\frac{y^{5} - 2 y}{y^{3}}$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{5} - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{5}$ .

$\int \frac{y \cdot y^{4} - 2 y}{y^{3}} d y$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$\int \frac{y \cdot y^{4} + y \cdot - 2}{y^{3}} d y$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y^{4} + y \cdot - 2$ .

$\int \frac{y (y^{4} - 2)}{y^{3}} d y$

Этап 1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$\int \frac{y (y^{4} - 2)}{y \cdot y^{2}} d y$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{y (y^{4} - 2)}{y \cdot y^{2}} d y$

Этап 1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{y^{4} - 2}{y^{2}} d y$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (y^{4} - 2) {(y^{2})}^{- 1} d y$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{4} - 2) y^{2 \cdot - 1} d y$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (y^{4} - 2) y^{- 2} d y$

Этап 2

Умножим $(y^{4} - 2) y^{- 2}$ .

$\int y^{4} y^{- 2} - 2 y^{- 2} d y$

Этап 3

Умножим $y^{4}$ на $y^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{4 - 2} - 2 y^{- 2} d y$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$\int y^{2} - 2 y^{- 2} d y$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{2} d y + \int - 2 y^{- 2} d y$

Этап 5

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C + \int - 2 y^{- 2} d y$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C - 2 \int y^{- 2} d y$

Этап 7

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C - 2 (- y^{- 1} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} - 2 (- y^{- 1}) + C$

Этап 8.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + 2 y^{- 1} + C$