Математический анализ Примеры

$e^{\frac{x}{y}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{y}$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x}{y}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}])$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [y^{- 1}])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{\frac{x}{y}} (x (- y^{- 2}))$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{x}{y}} (x (- \frac{1}{y^{2}}))$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$e^{\frac{x}{y}} (- \frac{x}{y^{2}})$

Этап 3.2.2

Объединим $e^{\frac{x}{y}}$ и $\frac{x}{y^{2}}$ .

$- \frac{e^{\frac{x}{y}} x}{y^{2}}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{e^{\frac{x}{y}} x}{y^{2}}$ .

$- \frac{x e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$