Математический анализ Примеры

$y^{\frac{3}{2}} (y + c e^{y})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ и $g (y) = y + c e^{y}$ .

$y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d y} [y + c e^{y}] + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y + c e^{y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [c e^{y}]$ .

$y^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [c e^{y}]) + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d y} [c e^{y}]) + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.3

Поскольку $c$ является константой относительно $y$ , производная $c e^{y}$ по $y$ равна $c \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c \frac{d}{d y} [e^{y}]) + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ имеет вид $a^{y} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}})$

Этап 9

Объединим $\frac{3}{2}$ и $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{y}) + (y + c e^{y}) \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + (y + c e^{y}) \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + y \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $y^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + y \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10.3.2

Объединим $y$ и $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{y (3 y^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10.3.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 (y^{1} y^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10.3.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10.3.7

Добавим $2$ и $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + c e^{y} \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10.3.8

Объединим $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $c$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c}{2} e^{y}$

Этап 10.3.9

Объединим $\frac{3 y^{\frac{1}{2}} c}{2}$ и $e^{y}$ .

$y^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Этап 10.3.10

Чтобы записать $y^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + y^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Этап 10.3.11

Объединим $y^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{y^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Этап 10.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Этап 10.3.13

Перенесем $2$ влево от $y^{\frac{3}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{2 \cdot y^{\frac{3}{2}} + 3 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Этап 10.3.14

Добавим $2 y^{\frac{3}{2}}$ и $3 y^{\frac{3}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} (c e^{y}) + \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2}$

Этап 10.4

Изменим порядок членов.

$e^{y} y^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 y^{\frac{1}{2}} c e^{y}}{2} + \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2}$