Математический анализ Примеры

$y = \arctan (\sqrt{x})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Упростим.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 12

Умножим $\frac{1}{1 + x}$ на $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x) \cdot 2}$

Этап 13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем $2$ влево от $1 + x$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x)}$

Этап 13.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.3.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Этап 14.3.2.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Этап 14.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 14.3.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 14.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 14.3.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 14.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Вынесем множитель $2 x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1.1

Вынесем множитель $2 x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 14.4.1.2

Вынесем множитель $2 x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})}$

Этап 14.4.1.3

Вынесем множитель $2 x^{\frac{1}{2}}$ из $2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{2}{2}})}$

Этап 14.4.2

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{1})}$

Этап 14.4.3

Упростим.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$