Математический анализ Примеры

$y = \sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (5 x)}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (5 x)}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.10

Объединим $\cos (x^{\frac{1}{3}})$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 2.11

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (5 x)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{\sin (5 x)}$ в виде ${\sin (5 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [{\sin (5 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (5 x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (5 x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $5 x$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.3.2

Производная $\sin (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\cos (u_{3})$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $5 x$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 3.9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{\frac{- 2}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 3.11

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (\cos (5 x) \cdot 5)$

Этап 3.12

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} (5 \cdot \cos (5 x))$

Этап 3.13

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (5 \cos (5 x))$

Этап 3.14

Объединим $5$ и $\frac{{\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cos (5 x)$

Этап 3.15

Объединим $\frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $\cos (5 x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 {\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (5 x)}{3}$

Этап 3.16

Перенесем ${\sin (5 x)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 \cos (5 x)}{3 {\sin (5 x)}^{\frac{2}{3}}}$