Математический анализ Примеры

$y = \log_{2} (e^{- x} \cos (π x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{2} (x)$ и $g (x) = e^{- x} \cos (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{- x} \cos (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

Этап 1.2

Производная $\log_{2} (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{- x} \cos (π x)$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{- x}$ и $g (x) = \cos (π x)$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $π x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $π x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 4.3

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Этап 6.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Этап 6.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- e^{- x}))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π)) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ .

$\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (- \sin (π x) π) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ и $\sin (π x)$ .

$- \frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} π + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Этап 7.2.3

Объединим $π$ и $\frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ .

$- \frac{π (e^{- x} \sin (π x))}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{π e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Этап 7.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

Этап 7.2.5

Объединим $\cos (π x)$ и $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ .

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} + \frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (- e^{- x})$

Этап 7.2.6

Объединим $\frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ и $e^{- x}$ .

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$

Этап 7.2.7

Сократим общий множитель $\cos (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$

Этап 7.2.7.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (2)}$

Этап 7.2.8

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (2)}$

Этап 7.2.8.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}$

Этап 7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим дроби.

$- (\frac{π}{\ln (2)} \cdot \frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}) - \frac{1}{\ln (2)}$

Этап 7.3.2

Переведем $\frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}$ в $\tan (π x)$ .

$- (\frac{π}{\ln (2)} \tan (π x)) - \frac{1}{\ln (2)}$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{π}{\ln (2)}$ и $\tan (π x)$ .

$- \frac{π \tan (π x)}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}$