Математический анализ Примеры

$y = x^{1 - x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{1 - x}$ в виде $e^{\ln (x^{1 - x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{1 - x})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln (x^{1 - x})$ , вынося $1 - x$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{(1 - x) \ln (x)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = (1 - x) \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $(1 - x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $(1 - x) \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 - x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 5.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 5.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot 1))$

Этап 5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 1)$

Этап 5.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $\ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - 1 \cdot \ln (x))$

Этап 5.6.3

Перепишем $- 1 \ln (x)$ в виде $- \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Этап 6.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Этап 6.3.3

Объединим $\frac{1}{x}$ и $x$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

Этап 6.3.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Сократим общий множитель.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

Этап 6.3.4.2

Перепишем это выражение.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 \cdot 1 - \ln (x))$

Этап 6.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 - \ln (x))$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Объединим $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Этап 6.5.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Этап 6.5.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 6.6

Перепишем $- 1 e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ в виде $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 6.7

Чтобы записать $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot \frac{x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 6.8

Объединим $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 6.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 6.10

Вынесем множитель $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ из $e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 6.10.2

Вынесем множитель $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ из $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 6.10.3

Вынесем множитель $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ из $e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Этап 6.11

Чтобы записать $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) \cdot \frac{x}{x}$

Этап 6.12

Объединим $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Этап 6.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Этап 6.14

Вынесем множитель $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ из $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.14.1

Вынесем множитель $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ из $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)}{x}$

Этап 6.14.2

Вынесем множитель $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ из $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$

Этап 6.15

Изменим порядок множителей в $\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - x \ln (x))}{x}$