Математический анализ Примеры

$y = x^{2} \sqrt{10 x - 3}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10 x - 3}$ в виде ${(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 10 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $10 x - 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $10 x - 3$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(10 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(10 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(10 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 8.3

Перенесем ${(10 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 3] + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 9

По правилу суммы производная $10 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 10

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 12

Умножим $10$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 13

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0) + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $10$ и $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10 + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 14.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $10$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 14.3

Перенесем $10$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{10 \cdot x^{2}}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 14.4

Вынесем множитель $2$ из $10 x^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2})}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 15

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{2})}{2 ({(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 15.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 x^{2})}{2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 15.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x^{2}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{5 x^{2}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Этап 17

Перенесем $2$ влево от ${(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 x^{2}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} x$

Этап 18

Объединим $\frac{5 x^{2}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2 {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} x$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Перенесем ${(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 x^{2}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 18.2

Чтобы записать $2 x {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 x^{2}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 x^{2} + 2 x {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19

Умножим ${(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Перенесем ${(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 x^{2} + 2 x ({(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 x^{2} + 2 x {(10 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 x^{2} + 2 x {(10 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 x^{2} + 2 x {(10 x - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 2 x {(10 x - 3)}^{1}}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Упростим $2 x {(10 x - 3)}^{1}$ .

$\frac{5 x^{2} + 2 x (10 x - 3)}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{2} + 2 x (10 x) + 2 x \cdot - 3}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{5 x^{2} + 2 \cdot 10 x \cdot x + 2 x \cdot - 3}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 2 \cdot 10 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 2 \cdot 10 x^{2} + 2 x \cdot - 3}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.2.1.3

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x^{2} + 2 x \cdot - 3}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.2.1.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 20 x^{2} - 6 x}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.2.2

Добавим $5 x^{2}$ и $20 x^{2}$ .

$\frac{25 x^{2} - 6 x}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.3

Вынесем множитель $x$ из $25 x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.3.1

Вынесем множитель $x$ из $25 x^{2}$ .

$\frac{x (25 x) - 6 x}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x$ .

$\frac{x (25 x) + x \cdot - 6}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (25 x) + x \cdot - 6$ .

$\frac{x (25 x - 6)}{{(10 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$