Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x} - 1$ и $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1] - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $e^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{x} + 0) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $e^{x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 5

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} - 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 6.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - (e^{x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} + (- e^{x} - - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Объединим противоположные члены в $e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - - 1 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Вычтем $e^{x} e^{x}$ из $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{1 e^{x} + 0 - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 7.4.1.2

Добавим $1 e^{x}$ и $0$ .

$\frac{1 e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 7.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 7.4.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{e^{x} + 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 7.4.2.3

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} + e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Этап 7.4.3

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$