Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 1$ и $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 2.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4

Перенесем $2$ влево от $x^{4}$ .

$\frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{2 x^{4} - (x^{2} - 1) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

Этап 7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1)}{x^{4}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1}{x^{4}}$

Этап 8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} + 3}{x^{4}}$

Этап 8.2.2

Вычтем $3 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3}{x^{4}}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 3}{x^{4}}$

Этап 8.4

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 3)}{x^{4}}$

Этап 8.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Этап 8.6

Перепишем $- (x^{2} - 3)$ в виде $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Этап 8.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} - 3}{x^{4}}$