Математический анализ Примеры

$y = (\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \csc (x) + \cot (x)$ и $g (x) = \csc (x) - \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)] + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\csc (x) - \cot (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Этап 3

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Этап 4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cot (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Этап 5

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - - \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Этап 6.2

Умножим $\csc^{2} (x)$ на $1$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

Этап 6.3

По правилу суммы производная $\csc (x) + \cot (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 7

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 8

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Изменим порядок членов.

$(- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Развернем $(- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \csc (x) \cot (x) (\csc (x) + \cot (x)) + \csc^{2} (x) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Умножим $- \csc (x) \cot (x) \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1.1

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2.1.1.2

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2.1.2

Умножим $- \csc (x) \cot (x) \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.2.1

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2.1.2.2

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2.1.3

Умножим $\csc^{2} (x)$ на $\csc (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.3.1

Умножим $\csc^{2} (x)$ на $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.3.1.1

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) \csc^{1} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + {\csc (x)}^{2 + 1} + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2.1.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2.2

Добавим $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ и $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$0 - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.2.3

Вычтем $\csc (x) \cot^{2} (x)$ из $0$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \csc (x) \cot^{2} (x)$ .

$\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.3.2

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc^{3} (x)$ .

$\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \csc^{2} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.3.3

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (- \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.4

Изменим порядок $- \cot^{2} (x)$ и $\csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.5

Применим формулу Пифагора.

$\csc (x) \cdot 1 + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.6

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$\csc (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.7

Развернем $(- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) - \csc (x) \cot (x) (\csc (x) - \cot (x)) - \csc^{2} (x) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) - \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) (\csc (x) - \cot (x))$

Этап 9.2.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\csc (x) - \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.8.1.1

Умножим $- \csc (x) \cot (x) \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.8.1.1.1

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$\csc (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.1.2

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$\csc (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.2

Умножим $- \csc (x) \cot (x) (- \cot (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.8.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + 1 \csc (x) \cot (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.2.2

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.2.3

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.2.4

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.3

Умножим $\csc^{2} (x)$ на $\csc (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.8.1.3.1

Перенесем $\csc (x)$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.3.2

Умножим $\csc (x)$ на $\csc^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.8.1.3.2.1

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2} - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

Этап 9.2.8.1.4

Умножим $- \csc^{2} (x) (- \cot (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.8.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x) + 1 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Этап 9.2.8.1.4.2

Умножим $\csc^{2} (x)$ на $1$ .

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)$

Этап 9.2.8.2

Добавим $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ и $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\csc (x) + 0 + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

Этап 9.2.8.3

Добавим $0$ и $\csc (x) \cot^{2} (x)$ .

$\csc (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

Этап 9.2.9

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.9.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) \cot^{2} (x)$ .

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x)) - \csc^{3} (x)$

Этап 9.2.9.2

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $- \csc^{3} (x)$ .

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Этап 9.2.9.3

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc (x) (\cot^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x) - \csc^{2} (x))$

Этап 9.2.10

Изменим порядок $\cot^{2} (x)$ и $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))$

Этап 9.2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))$

Этап 9.2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $\cot^{2} (x)$ .

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))$

Этап 9.2.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ .

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))$

Этап 9.2.14

Применим формулу Пифагора.

$\csc (x) + \csc (x) (- 1 \cdot 1)$

Этап 9.2.15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\csc (x) + \csc (x) \cdot - 1$

Этап 9.2.16

Перенесем $- 1$ влево от $\csc (x)$ .

$\csc (x) - 1 \cdot \csc (x)$

Этап 9.2.17

Перепишем $- 1 \csc (x)$ в виде $- \csc (x)$ .

$\csc (x) - \csc (x)$

Этап 9.3

Вычтем $\csc (x)$ из $\csc (x)$ .

$0$