Математический анализ Примеры

Этап 1
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках , и начале координат. Тогда  — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку . Следовательно, равно .
Этап 1.2
С помощью запишем в виде .
Этап 2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 4
Упростим.
Этап 5
Продифференцируем, используя правило степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.2
Умножим на .
Этап 6
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 6.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 6.3
Заменим все вхождения на .
Этап 7
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 8
Объединим и .
Этап 9
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 10
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Умножим на .
Этап 10.2
Вычтем из .
Этап 11
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 11.2
Объединим и .
Этап 11.3
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 11.4
Объединим и .
Этап 12
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 13
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 14
Добавим и .
Этап 15
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 16
Умножим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.1
Умножим на .
Этап 16.2
Умножим на .
Этап 17
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 18
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.1
Объединим и .
Этап 18.2
Объединим и .
Этап 19
Возведем в степень .
Этап 20
Возведем в степень .
Этап 21
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 22
Добавим и .
Этап 23
Сократим общий множитель.
Этап 24
Перепишем это выражение.
Этап 25
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 26
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 27
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 27.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 27.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 27.3
Добавим и .
Этап 27.4
Разделим на .
Этап 28
Упростим .
Этап 29
Добавим и .
Этап 30
Добавим и .
Этап 31
Перепишем в виде произведения.
Этап 32
Умножим на .
Этап 33
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 33.1
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 33.1.1
Возведем в степень .
Этап 33.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 33.2
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 33.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 33.4
Добавим и .
Этап 34
Изменим порядок членов.