Математический анализ Примеры

$x {(12 - 2 x)}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(12 - 2 x)}^{2}$ в виде $(12 - 2 x) (12 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((12 - 2 x) (12 - 2 x))]$

Этап 2

Развернем $(12 - 2 x) (12 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (12 (12 - 2 x) - 2 x (12 - 2 x))]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (12 \cdot 12 + 12 (- 2 x) - 2 x (12 - 2 x))]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (12 \cdot 12 + 12 (- 2 x) - 2 x \cdot 12 - 2 x (- 2 x))]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $12$ на $12$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 + 12 (- 2 x) - 2 x \cdot 12 - 2 x (- 2 x))]$

Этап 3.1.2

Умножим $- 2$ на $12$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 2 x \cdot 12 - 2 x (- 2 x))]$

Этап 3.1.3

Умножим $12$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x - 2 x (- 2 x))]$

Этап 3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Этап 3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Этап 3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Этап 3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x + 4 x^{2})]$

Этап 3.2

Вычтем $24 x$ из $- 24 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 - 48 x + 4 x^{2})]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 144 - 48 x + 4 x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [144 - 48 x + 4 x^{2}] + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $144 - 48 x + 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.2

Поскольку $144$ является константой относительно $x$ , производная $144$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.4

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.6

Умножим $- 48$ на $1$ .

$x (- 48 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- 48 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (- 48 + 4 (2 x)) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.9

Умножим $2$ на $4$ .

$x (- 48 + 8 x) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- 48 + 8 x) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

Этап 5.11

Умножим $144 - 48 x + 4 x^{2}$ на $1$ .

$x (- 48 + 8 x) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot - 48 + x (8 x) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Этап 6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $- 48$ влево от $x$ .

$- 48 \cdot x + x (8 x) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Этап 6.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 48 x + 8 (x^{1} x) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Этап 6.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 48 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Этап 6.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 48 x + 8 x^{1 + 1} + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Этап 6.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 48 x + 8 x^{2} + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Этап 6.2.6

Вычтем $48 x$ из $- 48 x$ .

$- 96 x + 8 x^{2} + 144 + 4 x^{2}$

Этап 6.2.7

Добавим $8 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$- 96 x + 12 x^{2} + 144$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$12 x^{2} - 96 x + 144$