Математический анализ Примеры

$\ln (\cot (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cot (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 5

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\tan (x) (- \csc^{2} (x))$

Этап 6

Изменим порядок множителей в $\tan (x) (- \csc^{2} (x))$ .

$- \csc^{2} (x) \tan (x)$