Математический анализ Примеры

$\int (2 x) e^{4 x} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int (x) e^{4 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{4 x}$ .

$2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Этап 3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Этап 5

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Этап 8.2

Умножим $4$ на $4$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Этап 10

Перепишем $2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ в виде $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Этап 12.1.2

Объединим $\frac{x}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

Этап 12.1.3

Объединим $e^{4 x}$ и $\frac{1}{16}$ .

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 12.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 12.3.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 12.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

Этап 12.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{4 x}}{16}$ в числитель.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

Этап 12.4.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

Этап 12.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

Этап 12.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

Этап 12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$