Математический анализ Примеры

$y = x^{3} + 9 x$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x^{3} + 9 x$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 9 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 9 \cdot 1$

Этап 2.2.3

Умножим $9$ на $1$ .

$3 x^{2} + 9$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 9 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} = - 9$

Этап 3.2

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 9$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 9$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 9}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 9}{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{3}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $- 9$ на $3$ .

$x^{2} = - 3$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 3.4.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 3.4.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{3}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 4

Касательная не может быть найдена в несобственной точке. Точки $x =$ не существует в реальной системе координат.

Касательную невозможно найти на основе корня

Этап 5

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{3} + 9 x$ .

No horizontal tangent lines

Этап 6