Математический анализ Примеры

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Этап 1

Запишем

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ в виде уравнения.

y = e^{2 x - 1}

$y = e^{2 x - 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

x = e^{2 y - 1}

$x = e^{2 y - 1}$

Этап 3

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$ .

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$

Этап 3.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

ln (e^{2 y - 1}) = ln (x)

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Этап 3.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем

ln (e^{2 y - 1})

$\ln (e^{2 y - 1})$ , вынося

2 y - 1

$2 y - 1$ из логарифма.

(2 y - 1) ln (e) = ln (x)

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Этап 3.3.2

Натуральный логарифм

e

$e$ равен

1

$1$ .

(2 y - 1) \cdot 1 = ln (x)

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Этап 3.3.3

Умножим

2 y - 1

$2 y - 1$ на

1

$1$ .

2 y - 1 = ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

2 y - 1 = ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

Этап 3.4

Добавим

1

$1$ к обеим частям уравнения.

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$

Этап 3.5

Разделим каждый член

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ на

2

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член

2 y = ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ на

2

$2$ .

\frac{2 y}{2} = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

\frac{2 y}{2} = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим

y

$y$ на

1

$1$ .

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 4

Заменим

y

$y$ на

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

f^{- 1} (x) = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли

f^{- 1} (x) = \frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ обратной к

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение

f^{- 1} (e^{2 x - 1})

$f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ , подставив значение

f

$f$ в

f^{- 1}

$f^{- 1}$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести

2 x - 1

$2 x - 1$ из степени.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) ln (e) + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Этап 5.2.4.2

Натуральный логарифм

e

$e$ равен

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Этап 5.2.4.3

Умножим

2 x - 1

$2 x - 1$ на

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим противоположные члены в

2 x - 1 + 1

$2 x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Добавим

- 1

$- 1$ и

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим

2 x

$2 x$ и

0

$0$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.5.2.2

Разделим

x

$x$ на

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2})

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ , подставив значение

f^{- 1}

$f^{- 1}$ в

f

$f$ .

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Перепишем

\frac{ln (x)}{2}

$\frac{\ln (x)}{2}$ в виде

\frac{1}{2} ln (x)

$\frac{1}{2} \ln (x)$ .

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Этап 5.3.3.1.2

Упростим

\frac{1}{2} ln (x)

$\frac{1}{2} \ln (x)$ путем переноса

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ под логарифм.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Этап 5.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Этап 5.3.3.3

Упростим

2 ln (x^{\frac{1}{2}})

$2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ путем переноса

2

$2$ под логарифм.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Этап 5.3.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перемножим экспоненты в

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Этап 5.3.3.5.1.2

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Этап 5.3.3.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x^{1}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x^{1}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x^{1}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Этап 5.3.3.5.2

Упростим.

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в

ln (x) + 1 - 1

$\ln (x) + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем

1

$1$ из

1

$1$ .

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x) + 0}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Этап 5.3.4.2

Добавим

ln (x)

$\ln (x)$ и

0

$0$ .

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x)}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

f (\frac{ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{ln (x)}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Этап 5.3.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как

$f^{- 1} (f (x)) = x$ и

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , то

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ — обратная к

$f (x) = e^{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$