Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = e^{2 x - 1}$ в виде уравнения.

$y = e^{2 x - 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = e^{2 y - 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $e^{2 y - 1} = x$ .

$e^{2 y - 1} = x$

Этап 3.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Этап 3.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $\ln (e^{2 y - 1})$ , вынося $2 y - 1$ из логарифма.

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Этап 3.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Этап 3.3.3

Умножим $2 y - 1$ на $1$ .

$2 y - 1 = \ln (x)$

Этап 3.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 y = \ln (x) + 1$

Этап 3.5

Разделим каждый член $2 y = \ln (x) + 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $2 y = \ln (x) + 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ обратной к $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $2 x - 1$ из степени.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Этап 5.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $2 x - 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Этап 5.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Объединим противоположные члены в $2 x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Этап 5.2.5.1.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Перепишем $\frac{\ln (x)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Этап 5.3.3.1.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (x)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Этап 5.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Этап 5.3.3.3

Упростим $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Этап 5.3.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Этап 5.3.3.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Этап 5.3.3.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Этап 5.3.3.5.2

Упростим.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $\ln (x) + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Этап 5.3.4.2

Добавим $\ln (x)$ и $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Этап 5.3.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ — обратная к $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$