Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{\sqrt{x} + 21} + e^{p}$

Этап 1

По правилу суммы производная $e^{\sqrt{x} + 21} + e^{p}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{\sqrt{x} + 21}] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\sqrt{x} + 21}] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{\sqrt{x} + 21}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}} + 21$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 21] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 21] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}} + 21$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 21] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} + 21$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [21]) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [21]) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.5

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.11

Добавим $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$ и $0$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.13

Объединим $e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 2.14

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $e^{p}$ является константой относительно $x$ , производная $e^{p}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Этап 3.2

Добавим $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$