Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 4

Объединим $e^{x}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 5

Умножим $\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим.

$\frac{x (\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Этап 6.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) e^{x})}{x e^{2 x}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{x} - x e^{x} \ln (x)}{x e^{2 x}}$

Этап 8.2

Изменим порядок членов.

$\frac{- e^{x} x \ln (x) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} x \ln (x) + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Этап 8.3.2

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x} x}$

Этап 8.3.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x) + 1)}{e^{2 x} x}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{x} (- x \ln (x) + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Этап 8.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} (x)}$

Этап 8.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Этап 8.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{- x} (- x \ln (x) + 1)}{x}$

Этап 8.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \ln (x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) + 1)}{x}$

Этап 8.6

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

Этап 8.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x) - 1))}{x}$

Этап 8.8

Перепишем $- (x \ln (x) - 1)$ в виде $- 1 (x \ln (x) - 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x \ln (x) - 1))}{x}$

Этап 8.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{- x} (x \ln (x) - 1)}{x}$