Математический анализ Примеры

$e^{2 x} = \sin (x + 3 y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (e^{2 x}) = \frac{d}{d x} (\sin (x + 3 y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Этап 2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Этап 2.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Этап 3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3 y$ .

$\cos (x + 3 y) \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + 3 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\cos (x + 3 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Этап 3.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 e^{2 x} = \cos (x + 3 y) (1 + 3 y')$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ на $\cos (x + 3 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ на $\cos (x + 3 y)$ .

$\frac{\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')}{\cos (x + 3 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $\cos (x + 3 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')}{\cos (x + 3 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим $1 + 3 y'$ на $1$ .

$1 + 3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

Этап 5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$

Этап 5.4

Разделим каждый член $3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$ на $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 5.4.3.1.2

Объединим.

$y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 3 y) \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 5.4.3.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y) \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Этап 5.4.3.1.4

Перенесем $3$ влево от $\cos (x + 3 y)$ .

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \cos (x + 3 y)} + \frac{- 1}{3}$

Этап 5.4.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cos (x + 3 y)} - \frac{1}{3}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cos (x + 3 y)} - \frac{1}{3}$