Математический анализ Примеры

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3} - 2 x y) = \frac{d}{d x} (6 x + y + 1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y^{3} - 2 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.2.5

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $y^{3}$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.3.2

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y' + y)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 (x y') - 2 y$

Этап 2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $6 x + y + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 + y' + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 + y' + 0$

Этап 3.5

Добавим $6 + y'$ и $0$ .

$6 + y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y = 6 + y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - 2 x y' - 2 y - y' = 6$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 y^{3} x$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - 2 y - y' = 6 - 2 y^{3} x$

Этап 5.2.2

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $3 x^{2} y^{2} y' - 2 x y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) - 2 x y' - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 x y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x) - y' = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x) + y' \cdot - 1 = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x) + y' \cdot - 1 = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$ на $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1) = 6 - 2 y^{3} x + 2 y$ на $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ .

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{- 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{6}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} - \frac{2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Этап 5.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{6 - 2 y^{3} x}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1} + \frac{2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Этап 5.4.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{6 - 2 y^{3} x + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Этап 5.4.3.4

Вынесем множитель $2$ из $6 - 2 y^{3} x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y' = \frac{2 \cdot 3 - 2 y^{3} x + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Этап 5.4.3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{2 \cdot 3 + 2 (- y^{3} x) + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Этап 5.4.3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3 + 2 (- y^{3} x)$ .

$y' = \frac{2 \cdot (3 - y^{3} x) + 2 y}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Этап 5.4.3.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot (3 - y^{3} x) + 2 y$ .

$y' = \frac{2 (3 - y^{3} x + y)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (3 - y^{3} x + y)}{3 x^{2} y^{2} - 2 x - 1}$