Математический анализ Примеры

$x^{2} y + 2 x^{3} y = x + y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 2 x^{3} y) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y + 2 x^{3} y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Этап 2.2.4

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3} y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Этап 2.3.2

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Этап 2.3.5

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + 3 y x^{2})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y') + 2 (3 y x^{2})$

Этап 2.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 x^{3} y' + 6 y x^{2}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 + y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y = 1 + y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 1$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 1 - 2 x y$

Этап 5.2.2

Вычтем $6 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' + 2 x^{3} y' - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y' + 2 x^{3} y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 2 x^{3} y' - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 x^{3} y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x^{3}) - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x^{3}) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2}) + y' (2 x^{3})$ .

$y' (x^{2} + 2 x^{3}) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2} + 2 x^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x^{2} + 2 x^{3} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$ на $2 x^{3} + x^{2} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$ на $2 x^{3} + x^{2} - 1$ .

$\frac{y' (2 x^{3} + x^{2} - 1)}{2 x^{3} + x^{2} - 1} = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $2 x^{3} + x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x^{3} + x^{2} - 1)}{2 x^{3} + x^{2} - 1} = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Этап 5.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Этап 5.5.3.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{1 - 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Этап 5.5.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{1 - 2 x y - 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x y - 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$