Математический анализ Примеры

cos (2 y) = x

$\cos (2 y) = x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d x} (cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)

$\frac{d}{d x} (\cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

$f (x) = \cos (x)$ и

$g (x) = 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

$u$ как

$2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.1.2

Производная

$\cos (u)$ по

$u$ равна

$- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения

$u$ на

$2 y$ .

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку

$2$ является константой относительно

$x$ , производная

$2 y$ по

$x$ равна

$2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3

Перепишем

$\frac{d}{d x} [y]$ в виде

$y'$ .

$- 2 \sin (2 y) y'$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$

Этап 5

Разделим каждый член

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$ на

$- 2 \sin (2 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$ на

$- 2 \sin (2 y)$ .

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель

$- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Этап 5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель

$\sin (2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Этап 5.2.2.2

Разделим

$y'$ на

$1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим дроби.

$y' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)}$

Этап 5.3.2

Переведем

$\frac{1}{\sin (2 y)}$ в

$\csc (2 y)$ .

$y' = \frac{1}{- 2} \csc (2 y)$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{2} \csc (2 y)$

Этап 5.3.4

Объединим

$\csc (2 y)$ и

$\frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\csc (2 y)}{2}$

Этап 6

Заменим

$y'$ на

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (2 y)}{2}$