Математический анализ Примеры

$\cos (y^{2}) + x = e^{y}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\cos (y^{2}) + x) = \frac{d}{d x} (e^{y})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\cos (y^{2}) + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y^{2}$ .

$- \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$- \sin (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \sin (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$- \sin (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \sin (y^{2}) (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (y^{2}) (y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (y^{2}) (y y') + 1$

Этап 2.3.2

Изменим порядок членов.

$- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{y} y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1 = e^{y} y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1$ .

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 = e^{y} y'$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{y} y'$ .

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 = y' e^{y}$

Этап 5.3

Вычтем $y' e^{y}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 - y' e^{y} = 0$

Этап 5.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) - y' e^{y} = - 1$

Этап 5.5

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y' \sin (y^{2}) - y' e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y' \sin (y^{2})$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2})) - y' e^{y} = - 1$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y' e^{y}$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2})) + y' (- 1 e^{y}) = - 1$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 2 y \sin (y^{2})) + y' (- 1 e^{y})$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2}) - 1 e^{y}) = - 1$

Этап 5.6

Перепишем $- 1 e^{y}$ в виде $- e^{y}$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$

Этап 5.7

Разделим каждый член $y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$ на $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Разделим каждый член $y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$ на $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ .

$\frac{y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y})}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}} = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Этап 5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y})}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}} = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Этап 5.7.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Этап 5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Этап 5.7.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y \sin (y^{2})$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2})) - e^{y}}$

Этап 5.7.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{y}$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2})) - (e^{y})}$

Этап 5.7.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y \sin (y^{2})) - (e^{y})$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})}$

Этап 5.7.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.5.1

Перепишем $- (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})$ в виде $- 1 (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})$ .

$y' = - \frac{1}{- 1 (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})}$

Этап 5.7.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - - \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Этап 5.7.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' = 1 \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Этап 5.7.3.5.4

Умножим $\frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$