Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Продифференцируем обе части уравнения.
Этап 2
Этап 2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.2
Найдем значение .
Этап 2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.3
Умножим на .
Этап 2.3
Найдем значение .
Этап 2.3.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.3.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.3.2
Перепишем в виде .
Этап 2.4
Найдем значение .
Этап 2.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.4.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.4.3
Перепишем в виде .
Этап 2.4.4
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.4.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4.6
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.4.7
Добавим и .
Этап 2.4.8
Умножим на .
Этап 2.4.9
Объединим и .
Этап 2.4.10
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.5
Упростим.
Этап 2.5.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.5.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.5.3
Объединим термины.
Этап 2.5.3.1
Умножим на .
Этап 2.5.3.2
Умножим на .
Этап 2.5.3.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.5.3.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3
Этап 3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3
Умножим на .
Этап 4
Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.
Этап 5
Этап 5.1
Разложим на множители каждый член.
Этап 5.1.1
Перепишем в виде .
Этап 5.1.2
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 5.1.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.3
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 5.1.3.1
Упростим каждый член.
Этап 5.1.3.1.1
Умножим на .
Этап 5.1.3.1.2
Перенесем влево от .
Этап 5.1.3.1.3
Умножим на .
Этап 5.1.3.2
Добавим и .
Этап 5.1.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.5
Упростим.
Этап 5.1.5.1
Умножим на .
Этап 5.1.5.2
Умножим на .
Этап 5.1.6
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.7
Упростим.
Этап 5.1.7.1
Умножим на .
Этап 5.1.7.2
Умножим на .
Этап 5.1.7.3
Умножим на .
Этап 5.1.8
Избавимся от скобок.
Этап 5.2
Найдем НОК знаменателей членов уравнения.
Этап 5.2.1
Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.
Этап 5.2.2
НОК единицы и любого выражения есть это выражение.
Этап 5.3
Каждый член в умножим на , чтобы убрать дроби.
Этап 5.3.1
Умножим каждый член на .
Этап 5.3.2
Упростим левую часть.
Этап 5.3.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 5.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.2.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.4
Решим уравнение.
Этап 5.4.1
Упростим .
Этап 5.4.1.1
Перепишем.
Этап 5.4.1.2
Перепишем в виде .
Этап 5.4.1.3
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 5.4.1.3.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.1.3.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.1.3.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.1.4
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 5.4.1.4.1
Упростим каждый член.
Этап 5.4.1.4.1.1
Умножим на .
Этап 5.4.1.4.1.2
Перенесем влево от .
Этап 5.4.1.4.1.3
Умножим на .
Этап 5.4.1.4.2
Добавим и .
Этап 5.4.1.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.1.6
Упростим.
Этап 5.4.1.6.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 5.4.1.6.1.1
Перенесем .
Этап 5.4.1.6.1.2
Умножим на .
Этап 5.4.1.6.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 5.4.1.6.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.4.1.6.1.3
Добавим и .
Этап 5.4.1.6.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 5.4.1.6.3
Умножим на .
Этап 5.4.1.7
Упростим каждый член.
Этап 5.4.1.7.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 5.4.1.7.1.1
Перенесем .
Этап 5.4.1.7.1.2
Умножим на .
Этап 5.4.1.7.2
Умножим на .
Этап 5.4.2
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Этап 5.4.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5.4.2.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5.4.2.3
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5.4.2.4
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5.4.2.5
Вычтем из .
Этап 5.4.2.6
Вычтем из .
Этап 5.4.3
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.3.4
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.3.5
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.4
Перепишем в виде .
Этап 5.4.5
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 5.4.5.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.5.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.5.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.6
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 5.4.6.1
Упростим каждый член.
Этап 5.4.6.1.1
Умножим на .
Этап 5.4.6.1.2
Перенесем влево от .
Этап 5.4.6.1.3
Умножим на .
Этап 5.4.6.2
Добавим и .
Этап 5.4.7
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.8
Упростим.
Этап 5.4.8.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 5.4.8.2
Умножим на .
Этап 5.4.9
Умножим на .
Этап 5.4.10
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 5.4.10.1
Разделим каждый член на .
Этап 5.4.10.2
Упростим левую часть.
Этап 5.4.10.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 5.4.10.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.4.10.2.1.2
Разделим на .
Этап 5.4.10.3
Упростим правую часть.
Этап 5.4.10.3.1
Упростим члены.
Этап 5.4.10.3.1.1
Упростим каждый член.
Этап 5.4.10.3.1.1.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 5.4.10.3.1.1.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 5.4.10.3.1.2
Упростим члены.
Этап 5.4.10.3.1.2.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.4.10.3.1.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.10.3.1.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.10.3.1.2.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.10.3.1.2.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.10.3.1.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.4.10.3.2
Упростим числитель.
Этап 5.4.10.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.10.3.2.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.10.3.2.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.10.3.2.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.10.3.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.10.3.2.3
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 5.4.10.3.2.4
Перенесем влево от .
Этап 5.4.10.3.2.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 5.4.10.3.2.5.1
Перенесем .
Этап 5.4.10.3.2.5.2
Умножим на .
Этап 5.4.10.3.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.4.10.3.4
Упростим числитель.
Этап 5.4.10.3.4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.10.3.4.2
Упростим.
Этап 5.4.10.3.4.2.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 5.4.10.3.4.2.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 5.4.10.3.4.2.3
Перенесем влево от .
Этап 5.4.10.3.4.3
Упростим каждый член.
Этап 5.4.10.3.4.3.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 5.4.10.3.4.3.1.1
Перенесем .
Этап 5.4.10.3.4.3.1.2
Умножим на .
Этап 5.4.10.3.4.3.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 5.4.10.3.4.3.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.4.10.3.4.3.1.3
Добавим и .
Этап 5.4.10.3.4.3.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 5.4.10.3.4.3.2.1
Перенесем .
Этап 5.4.10.3.4.3.2.2
Умножим на .
Этап 5.4.10.3.4.4
Перепишем в разложенном на множители виде.
Этап 5.4.10.3.4.4.1
Разложим на множители, используя теорему о рациональных корнях.
Этап 5.4.10.3.4.4.1.1
Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид , где — делитель константы, а — делитель старшего коэффициента.
Этап 5.4.10.3.4.4.1.2
Найдем все комбинации . Это ― возможные корни многочлена.
Этап 5.4.10.3.4.4.1.3
Подставим и упростим выражение. В этом случае выражение равно , поэтому является корнем многочлена.
Этап 5.4.10.3.4.4.1.3.1
Подставим в многочлен.
Этап 5.4.10.3.4.4.1.3.2
Возведем в степень .
Этап 5.4.10.3.4.4.1.3.3
Умножим на .
Этап 5.4.10.3.4.4.1.3.4
Возведем в степень .
Этап 5.4.10.3.4.4.1.3.5
Умножим на .
Этап 5.4.10.3.4.4.1.3.6
Добавим и .
Этап 5.4.10.3.4.4.1.3.7
Умножим на .
Этап 5.4.10.3.4.4.1.3.8
Вычтем из .
Этап 5.4.10.3.4.4.1.3.9
Вычтем из .
Этап 5.4.10.3.4.4.1.4
Поскольку — известный корень, разделим многочлен на , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5
Разделим на .
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.1
Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением .
+ | + | + | - |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.2
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
+ | + | + | - |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.3
Умножим новое частное на делитель.
+ | + | + | - | ||||||||
+ | + |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.4
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
+ | + | + | - | ||||||||
- | - |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.5
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.6
Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.7
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.8
Умножим новое частное на делитель.
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
+ | + |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.9
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.10
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.11
Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.
+ | |||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.12
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
+ | - | ||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.13
Умножим новое частное на делитель.
+ | - | ||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.14
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
+ | - | ||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.15
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
+ | - | ||||||||||
+ | + | + | - | ||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
Этап 5.4.10.3.4.4.1.5.16
Поскольку остаток равен , окончательным ответом является частное.
Этап 5.4.10.3.4.4.1.6
Запишем в виде набора множителей.
Этап 5.4.10.3.4.4.2
Разложим на множители методом группировки
Этап 5.4.10.3.4.4.2.1
Для многочлена вида представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно , а сумма — .
Этап 5.4.10.3.4.4.2.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.10.3.4.4.2.1.2
Запишем как плюс
Этап 5.4.10.3.4.4.2.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.10.3.4.4.2.2
Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.
Этап 5.4.10.3.4.4.2.2.1
Сгруппируем первые два члена и последние два члена.
Этап 5.4.10.3.4.4.2.2.2
Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.
Этап 5.4.10.3.4.4.2.3
Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель .
Этап 5.4.10.3.4.5
Объединим показатели степеней.
Этап 5.4.10.3.4.5.1
Возведем в степень .
Этап 5.4.10.3.4.5.2
Возведем в степень .
Этап 5.4.10.3.4.5.3
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.4.10.3.4.5.4
Добавим и .
Этап 5.4.10.3.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.4.10.3.6
Упростим числитель.
Этап 5.4.10.3.6.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.4.10.3.6.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 5.4.10.3.6.3
Перенесем влево от .
Этап 5.4.10.3.7
Изменим порядок множителей в .
Этап 6
Заменим на .