Математический анализ Примеры

$y = 5 x^{2} e^{3 x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} e^{3 x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2} e^{3 x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{3 x}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$5 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4.3.2

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$5 (x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x))$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

Этап 3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $3$ на $5$ .

$15 (x^{2} (e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

Этап 3.5.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 e^{3 x} x$

Этап 3.5.3

Изменим порядок членов.

$15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$

Этап 3.5.4

Изменим порядок множителей в $15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$ .

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$