Математический анализ Примеры

$y^{4} = x^{7}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{4}) = \frac{d}{d x} (x^{7})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 y^{3} y'$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$7 x^{6}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 y^{3} y' = 7 x^{6}$

Этап 5

Разделим каждый член $4 y^{3} y' = 7 x^{6}$ на $4 y^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $4 y^{3} y' = 7 x^{6}$ на $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{7 x^{6}}{4 y^{3}}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{7 x^{6}}{4 y^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{7 x^{6}}{4 y^{3}}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{7 x^{6}}{4 y^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{7 x^{6}}{4 y^{3}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{6}}{4 y^{3}}$