Математический анализ Примеры

$15 x = 15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (15 x) = \frac{d}{d x} (15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$15 \cdot 1$

Этап 2.3

Умножим $15$ на $1$ .

$15$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 y$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [y]$ .

$15 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$15 y' + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$15 y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$15 y' + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$15 y' + 5 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Этап 3.3.4

Умножим $3$ на $5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Этап 3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} y')$

Этап 3.4.4

Умножим $5$ на $3$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y'$

Этап 3.5

Изменим порядок членов.

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$15 = 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$ .

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Этап 5.2

Вынесем множитель $15 y'$ из $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $15 y'$ из $15 y^{2} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $15 y'$ из $15 y^{4} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' = 15$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $15 y'$ из $15 y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' \cdot 1 = 15$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $15 y'$ из $15 y' y^{2} + 15 y' y^{4}$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1 = 15$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $15 y'$ из $15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4} + 1) = 15$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$15 y' (y^{4} + y^{2} + 1) = 15$

Этап 5.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $y^{4} + y^{2} + 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Перепишем средний член.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1) = 15$

Этап 5.4.1.2

Переставляем члены.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2}) = 15$

Этап 5.4.1.3

Разложим первые три члена на множители, используя правило полного квадрата.

$15 y' ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2}) = 15$

Этап 5.4.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y^{2} + 1$ и $b = y$ .

$15 y' ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Этап 5.4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.5.1

Изменим порядок членов.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Этап 5.4.1.5.2

Изменим порядок членов.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)) = 15$

Этап 5.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$

Этап 5.5

Разделим каждый член $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ на $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ на $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ .

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $y^{2} + y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Этап 5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Этап 5.5.2.3

Сократим общий множитель $y^{2} - y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Этап 5.5.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Этап 5.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$