Математический анализ Примеры

$\int x \arctan (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arctan (x)$ и $d v = x$ .

$\arctan (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\arctan (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Объединим $\arctan (x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Разделим $x^{2}$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Этап 5.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Этап 9.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

Этап 11

Упростим.

$\frac{\arctan (x) x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan (x)}{2} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \arctan (x) x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \arctan (x) + C$