Математический анализ Примеры

${(3 x y + 7)}^{2} = 6 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(3 x y + 7)}^{2}) = \frac{d}{d x} (6 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(3 x y + 7)}^{2}$ в виде $(3 x y + 7) (3 x y + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x y + 7) (3 x y + 7)]$

Этап 2.2

Развернем $(3 x y + 7) (3 x y + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y + 7) + 7 (3 x y + 7)]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y + 7)]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x) y (3 y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Этап 2.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y (3 y) + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} (y \cdot y) \cdot 3 + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} \cdot 3 + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Этап 2.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y \cdot 7 + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Этап 2.3.1.4

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 7 (3 x y) + 7 \cdot 7]$

Этап 2.3.1.5

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 21 (x y) + 7 \cdot 7]$

Этап 2.3.1.6

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 21 x y + 21 x y + 49]$

Этап 2.3.2

Добавим $21 x y$ и $21 x y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 42 x y + 49]$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $9 x^{2} y^{2} + 42 x y + 49$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.4.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2} y^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$9 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.7

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$9 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.8

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.9.2

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x) + \frac{d}{d x} [42 x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.9.3

Поскольку $42$ является константой относительно $x$ , производная $42 x y$ по $x$ равна $42 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.10

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.11

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.13

Умножим $y$ на $1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [49]$

Этап 2.14

Поскольку $49$ является константой относительно $x$ , производная $49$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y) + 0$

Этап 2.15

Добавим $9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$ и $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$

Этап 2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y' + y)$

Этап 2.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y') + 42 y$

Этап 2.16.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1

Умножим $2$ на $9$ .

$18 (x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 42 (x y') + 42 y$

Этап 2.16.3.2

Умножим $2$ на $9$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 y$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y = 6 y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $6 y'$ из обеих частей уравнения.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 42 x y' + 42 y - 6 y' = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $18 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$18 x^{2} y y' + 42 x y' + 42 y - 6 y' = - 18 y^{2} x$

Этап 5.2.2

Вычтем $42 y$ из обеих частей уравнения.

$18 x^{2} y y' + 42 x y' - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $6 y'$ из $18 x^{2} y y' + 42 x y' - 6 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $6 y'$ из $18 x^{2} y y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 42 x y' - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $6 y'$ из $42 x y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x) - 6 y' = - 18 y^{2} x - 42 y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $6 y'$ из $- 6 y'$ .

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x) + 6 y' \cdot - 1 = - 18 y^{2} x - 42 y$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $6 y'$ из $6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (7 x)$ .

$6 y' (3 x^{2} y + 7 x) + 6 y' \cdot - 1 = - 18 y^{2} x - 42 y$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $6 y'$ из $6 y' (3 x^{2} y + 7 x) + 6 y' \cdot - 1$ .

$6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$

Этап 5.4

Разделим каждый член $6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$ на $6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1) = - 18 y^{2} x - 42 y$ на $6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)$ .

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{3 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $3 x^{2} y + 7 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 x^{2} y + 7 x - 1)}{3 x^{2} y + 7 x - 1} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $- 18$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $6$ из $- 18 y^{2} x$ .

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 42 y}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Этап 5.4.3.1.3

Сократим общий множитель $- 42$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.3.1

Вынесем множитель $6$ из $- 42 y$ .

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{6 (- 7 y)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Этап 5.4.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{6 (- 7 y)}{6 (3 x^{2} y + 7 x - 1)}$

Этап 5.4.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} + \frac{- 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Этап 5.4.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 7 x - 1} - \frac{7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Этап 5.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x - 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Этап 5.4.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- 3 y^{2} x - 7 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- 3 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x) - 7 y}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Этап 5.4.3.2.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- 7 y$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x) + y \cdot - 7}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Этап 5.4.3.2.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 3 y x) + y \cdot - 7$ .

$y' = \frac{y (- 3 y x - 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Этап 5.4.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y x$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Этап 5.4.3.2.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 1 (7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Этап 5.4.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y x) - 1 (7)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y x + 7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Этап 5.4.3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.6.1

Перепишем $- (3 y x + 7)$ в виде $- 1 (3 y x + 7)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (3 y x + 7))}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Этап 5.4.3.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (3 y x + 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (3 y x + 7)}{3 x^{2} y + 7 x - 1}$