Математический анализ Примеры

$y = e^{\tan (π t)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{\tan (π t)})$

Этап 2

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = \tan (π t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (π t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [\tan (π t)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [\tan (π t)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (π t)$ .

$e^{\tan (π t)} \frac{d}{d t} [\tan (π t)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $π t$ .

$e^{\tan (π t)} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d t} [π t])$

Этап 3.2.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{\tan (π t)} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [π t])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $π t$ .

$e^{\tan (π t)} (\sec^{2} (π t) \frac{d}{d t} [π t])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $π$ является константой относительно $t$ , производная $π t$ по $t$ равна $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) (π \cdot 1)$

Этап 3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $π$ на $1$ .

$e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) π$

Этап 3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t) π$ .

$π e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = π e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = π e^{\tan (π t)} \sec^{2} (π t)$