Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 x}{x - 3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{x - 3})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{x - 3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$4 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.4.1

Вычтем $3$ из $0$ .

$4 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Этап 3.3.6.4.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.6.5

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.6.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{- 12}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.3.6.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$