Математический анализ Примеры

$y = \frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - \sec (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [1 - \sec (x)] - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $1 - \sec (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [- \sec (x)] - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sec (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- (\sec (x) \tan (x))) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.4

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.5

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.8

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (1 - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \cdot 1 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.1.2

Перепишем $- 1 \sec^{2} (x)$ в виде $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.1.3

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.3.1

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.1.3.2

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.3.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - {\sec (x)}^{2 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.1.4

Умножим $- - \sec^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.1.4.2

Умножим $\sec^{3} (x)$ на $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.2.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) - \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.2.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec (x)) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.2.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.2.4

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.2.5

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (- \tan^{2} (x) - \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - \sec (x) + \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.3

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.4

Изменим порядок $- \tan^{2} (x)$ и $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.7

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\sec (x) - \sec (x) \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.9

Умножим $- \sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.9.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.9.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.3.9.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.4

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) - \sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 - \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.4.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.4.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.9.5

Вынесем множитель $\tan (x)$ из $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{\tan (x) \tan (x)}$

Этап 3.9.6

Разделим дроби.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

Этап 3.9.7

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.9.8

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.9.9

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 3.9.10

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 3.9.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 3.9.11

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \csc (x)$

Этап 3.9.12

Объединим $\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)}$ и $\csc (x)$ .

$\frac{(1 - \sec (x)) \csc (x)}{\tan (x)}$

Этап 3.9.13

Разделим дроби.

$\frac{1 - \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\tan (x)}$

Этап 3.9.14

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1 - \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.9.15

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1 - \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.9.16

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 3.9.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.17.1

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{1} (\csc (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Этап 3.9.17.2

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{1} (\csc (x) \cot (x))$

Этап 3.9.18

Разделим $1 - \sec (x)$ на $1$ .

$(1 - \sec (x)) (\csc (x) \cot (x))$

Этап 3.9.19

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (\csc (x) \cot (x)) - \sec (x) (\csc (x) \cot (x))$

Этап 3.9.20

Умножим $\csc (x) \cot (x)$ на $1$ .

$\csc (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \csc (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) \cot (x)$