Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{2}}{3 x - 1}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{3 x - 1})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Перенесем $2$ влево от $3 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.8.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (3 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $3 x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) - 2 x}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 2}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x - 2)}{{(3 x - 1)}^{2}}$