Математический анализ Примеры

$\ln (9 y) = e^{y} \sin (5 x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (9 y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (5 x))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 9 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 y]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 y$ .

$\frac{1}{9 y} \frac{d}{d x} [9 y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 y$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{9 y} (9 \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим $9$ и $\frac{1}{9 y}$ .

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{y}$ и $g (x) = \sin (5 x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$e^{y} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$e^{y} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$e^{y} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{y} \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $5$ на $1$ .

$e^{y} \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $5$ влево от $e^{y} \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (e^{y} \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) e^{y} y'$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y'}{y} = 5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $(5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = 5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Изменим порядок множителей в $5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$ .

$y' = 5 y e^{y} \cos (5 x) + y' y e^{y} \sin (5 x)$

Этап 5.2.2.1.2.2

Изменим порядок $5 y e^{y} \cos (5 x)$ и $y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

$y' = y' y e^{y} \sin (5 x) + 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y' y e^{y} \sin (5 x)$ из обеих частей уравнения.

$y' - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' - y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x))$ .

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Этап 5.3.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Этап 5.3.4

Разделим каждый член $y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ на $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ на $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ .

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Этап 5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Этап 5.3.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$