Математический анализ Примеры

$\ln (y) = x \ln (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Этап 3.3.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$1 + \ln (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x)$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = (1 + \ln (x)) y$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $(1 + \ln (x)) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = 1 y + \ln (x) y$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Умножим $y$ на $1$ .

$y' = y + \ln (x) y$

Этап 5.2.2.1.2.2

Изменим порядок множителей в $y + \ln (x) y$ .

$y' = y + y \ln (x)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y + y \ln (x)$